7th February 2024, 2 min read

Differentiation von Matrizen und Determinanten

Original post is here eklausmeier.goip.de/blog/2024/02-07-differentiation-von-matrizen-und-determinanten.

Wie differenziert man Determinanten, die von einem Parameter abhängen?

1. Satz: Voraussetzungen: Es seien $a_{i j} (λ)$ differenzierbare Funktionen. Es sei

A (λ) = | \begin{matrix} a_{11} (λ) & \dots & a_{1 n} (λ) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} (λ) & \dots & a_{n n} (λ) \end{matrix} | = det (a_{1}, \dots, a_{n}),

ferner

α \binom{k_{1}}{i_{1}} \binom{k_{2}}{i_{2}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}}{i_{r}} = (- 1)^{i_{1} + \dots + i_{r} + k_{1} + \dots + k_{r}} A \binom{k_{1}^{'}}{i_{1}^{'}} \binom{k_{2}^{'}}{i_{2}^{'}} \binom{\dots}{\dots} \binom{k_{r}^{'}}{i_{r}^{'}},

insbesondere $α_{i}^{j} = (- 1)^{i + j} A_{1 \dots \hat{ı} \dots n}^{1 \dots \hat{ȷ} \dots n} .$

Behauptung:

\frac{\partial}{\partial λ} A = (α_{11}, \dots, α_{n n}) (\begin{matrix} a_{11}^{'} \\ ⋮ \\ a_{n n}^{'} \end{matrix}) = \sum_{i, j = 1}^{n} α_{i}^{j} a_{i j}^{'} = \sum_{i = 1}^{n} det (a_{1}, \dots, a_{i - 1}, a_{i}^{'}, a_{i + 1}, \dots, a_{n})

Beweis: Entwickelt man $A (λ)$ nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz nach der $i$ -ten Zeile, so erkennt man $\partial A / \partial (a_{i j}) = α_{i}^{j}$ . Anwenden der Kettenregel liefert die mittleren Identitäten. Die letzte Identität ist nur eine Umsortierung der vorherigen (Laplacescher Entwicklungssatz rückwärts gelesen). ☐

Man vgl. auch Bourbaki (1976): "Éléments de mathématique: Fonctions d'une variable réelle -- Théorie élémentaire", Hermann, Paris, 1976, 54+38+69+46+55+31+38 S. = 331 S.

2. Die Jacobimatrizen einiger Matrizenfunktionen, wie Spur, Determinante, Matrizenprodukt.

Es sei $y = f (x_{11}, \dots, x_{1 n}, x_{21}, \dots, x_{2 n}, \dots, x_{m 1}, \dots, x_{m n})$ eine reelle Funktion in $m n$ Veränderlichen, also $y = f (X)$ . Es bezeichne

\frac{d y}{d X} := {(\frac{\partial y}{\partial x_{i j}})}_{\binom{i = 1, \dots, m}{j = 1, \dots, n}} .

Im Falle $X = (x_{1}, \dots, x_{n})$ ist $\frac{d y}{d X} = \nabla y$ .

3. Satz: (1) $\frac{d a x}{d x} = a$ , $\frac{d x^{⊤} A x}{d x} = 2 A x$ , ( $A = A^{⊤}$ ).

(2) $\frac{d \ln det X}{d X} = (X^{⊤})^{- 1}$ , $\frac{d det X}{d X} = (det X)^{- 1} (X)^{- 1}$ .

(3) $\frac{d tr X^{- 1} A}{d X} = - (X^{- 1} A X^{- 1})^{⊤}$ .

Beweis: (1) ist klar. Bei (2) beachte man

\frac{\partial}{\partial x_{i j}} det X = α_{i}^{j} = (- 1)^{i + j} X_{1 \dots \hat{ı} \dots n}^{1 \dots \hat{ȷ} \dots n}

entsprechend

\frac{\partial}{\partial x_{i j}} \ln det X = \frac{1}{det X} α_{i}^{j} .

Zu (3): Es gelten

\frac{d X^{- 1}}{d x_{i j}} = - X^{- 1} E_{i j} X^{- 1}, tr E_{i j} B = b_{j i}, \frac{d tr B}{d x} = tr \frac{d B}{d x} .

☐